平均値に関する検定2 :t分布　t検定

公開日2020年5月5日 　最終更新日 2022年7月31日

みなさんこんにちは、michiです。

前回は、「平均値に関する検定1」と称して母分散が既知の場合の検定について学びました。

今回は母分散が未知の場合のt検定について勉強してましょう。

キーワード「t検定」「t表」「自由度」

①t分布を使った検定

母集団から標本を抽出し、その平均値を評価するには二つの統計量がありました。

使い分け方は

• 統計量\(Z\) は、正規分布から得られる統計量で、母分散が 既知
• 統計量\(t\) は、\(t\) 分布から得られる統計量で、母分散が 未知

今回は母分散が未知の場合の\(t\)分布から統計量を計算する方法について勉強していきます。

\[\]

②\(t\)表のミカタ

前回の「平均値に関する検定1」と同様に直接例題を解いて学んでいきたいのですが、その前に\(t\)表の使い方を理解する必要があります。

\(t\)表は下のような表です。

※自由度⇒∞　で正規分布表の「PからKpを求める表」と同じになります。

((((;´･ω･`)))ｶﾞｸｶﾞｸ

正規分布表と比較すると、自由度\(Φ\)があります。

\(t\)分布は、「左右対称で自由度によって形が変わる」分布のためです。

分布の形が変わるということは、採択域と棄却域の境界となる棄却限界値が、自由度によって変わることを意味します。

ですので、\(t\)検定では自由度（サンプル数\(-1\)）が重要になります。

\[\]

もう一つポイントがあります。

それは、\(t\)表に書かれている確率Pは両側棄却域の合計確率というとです。

図で表すと下のようになります。

※\(t\)表の確率　P=0.05　の場合

よって、両側検定の場合、第一種の誤りが5%であれば、P=0.05の列を見ればOKです。

正規分布表では、第一種の誤りが5%の場合は、P=0.025をみました。

正規分布表「PからKpを求める表」との相違点なので気を付けましょう！

\[\]

③両側検定の\(t\)分布

\(t\)表のミカタもわかりましたので、例題を解いてみましょう。

問）母平均 \(μ=20.0\)の母集団から、\(n=9\)個のサンプルを抽出しました。サンプルの標本平均を調べると、\(\bar{x}=21.4\)で、不偏分散は\(V=4.0\) でした。

この時、母平均に対し標本平均は変化したか？第一種の誤りを5%として答えてね。

\[\]

今回も問題と解く前に、問われているものは何かを、以下の三つのキーワードをチェックします。

• 平均の変化か、ばらつき（分散）の変化か
• 変化の有無か、大小関係か
• 母分散が既知か、不偏分散のみが既知か

今回の問題は「平均の変化、変化の有無、不偏分散のみが既知」ですので、\(t\)分布の統計量\(t\)を使います。

\[\]

すると、

今回の帰無仮説は「母平均に対し、標本平均の変化がない：\(μ=\bar{x}\)」で、対立仮説は「母平均に対し、標本平均の変化がある：\(μ≠\bar{x}\)」　です。

統計量\(t\)は、正規分布の統計量\(Z\)の　母分散⇒不偏分散　なので

\[t\qquad =\frac{\bar{x}-μ}{\sqrt{\frac{V}{n}}} \qquad=\frac{標本平均-母平均}{\sqrt{\frac{不偏分散}{サンプル数}}}\]

今回の問題の数値をあてはめると

\[t\qquad =\frac{\bar{x}-μ}{\sqrt{\frac{V}{n}}} \]

\[\qquad=\frac{21.4-20}{\sqrt{\frac{4}{9}}}\]

\[=\frac{1.4}{\frac{2}{3}}\qquad\]

\[= 2.1\]

\[\]

次に\(t\)表から棄却限界値を見積もるのですが、今回の問題は変化の有無を問われています。

有意水準(第一種の誤り)\(α\)=5%　として時の自由度8（サンプル数 – 1）の値は・・・

2.306　です。

この時\(t\)分布では、「棄却限界値\(t\)(8:0.05)=2.306」と書きます。

「棄却限界値\(t\)(自由度:有意水準（第一種の誤り）)=○○○」と表現されます。

\[\]

すると、棄却限界値\(t\)(8:0.05)=2.306　＞　統計量\(t\)= 2.1　ですので、統計量\(t\)は採択域内にあると判断します。

よって、帰無仮説「母平均に対し、標本平均の変化がない：\(μ=\bar{x}\)」が採択され、「平均値に変化があるとは言えない」となります。

\[\]

④片側検定の\(t\)分布

さて、今度は片側検定で考えてみます。

問）母平均 \(μ=20.0\)の母集団から、\(n=9\)個のサンプルを抽出しました。サンプルの標本平均を調べると、\(\bar{x}=21.4\)で、不偏分散は\(V=4.0\) だった。

この時母平均に対し標本平均は大きくなったか？第一種の誤りを5%として答えてね。

\[\]

今回の問題は「平均の変化、大小関係、不偏分散のみが既知」ですので、\(t\)分布の統計量\(t\)を使います。

今回の帰無仮説は「母平均に対し、標本平均の変化がない：\(μ=\bar{x}\)」で、対立仮説は「母平均に対し、標本平均は大きくなった：\(μ<\bar{x}\)」　です。

さて、先ほどと同様に統計量\(t\)を計算すると、

\[t\qquad =\frac{\bar{x}-μ}{\sqrt{\frac{V}{n}}} \]

\[=2.1\]

\[\]

今回は片側検定ですので、棄却限界値が両側検定の時と変わります。

結論からいうと、「棄却限界値\(t\)(8:0.1)=1.860」　です。

すると、棄却限界値\(t\)(8:0.1)=1.860　＜　統計量\(t\)=2.1　ですので、統計量\(t\)　は棄却域内にあると判断します。

よって、帰無仮説「母平均に対し、標本平均の変化がない：\(μ=\bar{x}\)」が棄却され、対立仮説である「母平均に対し、標本平均は大きくなった」が採択されます。

問題に対する回答は、「平均値は大きくなった」　です。

\[\]

⑤\(t\)分布の片側検定で\(α\)を2倍にする理由

片側検定の答えをみると次の疑問が生まれます。

棄却限界値を決めるときの確率 P=0.1　なら、第一種の誤りは10%になるのでは？

(。´･ω･)?

\[\]

はい、そうです。

ただしそれは両側検定の場合です。

\(t\)表では、「確率Pは両側棄却域の合計確率」なので、あわせて10%の棄却限界値が、片側検定5%の棄却限界値となります。

そのため、もう一方の棄却域（今回は小さい側）を無視することで、片側検定5%の棄却域が設定できます。

\[\]

⑥正規分布表と\(t\)表の混乱防止

正規分布表と\(t\)表の表現方法は混乱してしまいそうです。

●正規分布表の両側検定では、第一種の誤りの確率Pが半分の時の確率変数が棄却限界値となる。

●\(t\)表の片側検定では、第一種の誤りの確率Pが倍の時の確率変数が棄却限界値になる。

(ﾟω｡)ｱﾘｬ?

紛らわしいですよね。混乱しそうです。

\[\]

しかしご安心を。QC検定では付表が問題用紙のどこかにあります。

そしてその付表には下の図が通常ついています。

この図をみれば、第一種の誤りに対し、「確率Pを半分にするのか、倍にするのか、そのまま読み取っていいのか」が分かります。

重要なことは、「正規分布か\(t\)分布か」と「両側検定か片側検定か」です。

\[\]

まとめ

①母分散の値が未知で、平均の変化を知りたい場合は\(t\)分布で考える

②両側検定で\(t\)表を使う場合は、確率Pをそのまま読み取る

③片側検定で\(t\)表を使う場合は、確率Pを倍にする

④正規分布表とt表では確率の表記方法が違うので注意

⑤　QC試験本番では、付表についているであろう図で確認

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今回は\(t\)表を使った\(t\)検定について学びました。

次回は、\(χ^2\)カイ二乗検定について勉強しましょう。

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