QC検定1級 出題範囲

ワイブル分布 とは

公開日2021年10月7日  最終更新日 2021年10月31日

みなさんこんにちは、michiです。

今回はワイブル分布について勉強します。

ワイブル分布はテキストでは後半にでてきますが、実用面でかなり使えるので、早めに紹介します。

エクセルを使った実践的な計算方法は、実践編で紹介します。

キーワード:「位置パラメータ」「形状パラメータ」「尺度パラメータ」

目次

①ワイブル分布とは

ワイブル分布とは故障の分布(寿命)を表す密度関数のことです。

ワイブル分布は以下の式で表せます。

\[f(t)=\left( \frac{m}{\eta}\right) \left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^{m-1} exp\left\{-\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^m\right\}\]

  • \(\gamma\):位置パラメータ
  • \(m\):形状パラメータ
  • \(\eta\):尺度パラメータ
  • \(t\):時間や回数など、寿命を表すパラメータ

\[\]

位置パラメータ\(\gamma\) によって分布の始まりが、形状パラメータ\(m\)によって分布の形が、尺度パラメータ\(\eta\)によって分布の広がりが決まります。

具体的なイメージは、下の図1~図3を参考にしてください。

図1:形状パラメータm を変更

\[\]

図2:尺度パラメータη を変更

\[\]

図3:位置パラメータ\(\gamma\) を変更

なんとなくイメージができましたか?

(A;´・ω・)アセアセ

\[\]

形状パラメータ\(m\)によってどの故障期間の分布かが決まります。

  • \(m<1\):初期故障型
  • \(m=1\):偶発故障型
  • \(m>1\):摩耗故障型

故障期間の説明については、記事「信頼性工学1」のバスタブ曲線をご参照ください。

形状パラメータとバスタブ曲線の関係をまとめると、次のイメージになります。

\[\]

ワイブル分布では、故障期間にかかわらず形状パラメータ\(m\) として表せます。

こんなに便利なワイブル分布ですが、弱点があります。

それは、「各パラメータを直接求めることができない」ということです。

Σ(・ω・ノ)ノ!

ではどうすればいいのか?というと、「ワイブル分布確率変紙」を使います。

\[\]

②ワイブル分布確率紙とは

ワイブル分布確率紙とは、ワイブル分布の三つのパラメータである、位置パラメータ\(\gamma\)、形状パラメータ\(m\)、尺度パラメータ\(\eta\) を求めるための表です。

一昔前まではその名の通り「紙」を使っていましたが、今はExcelで簡単にパラメータを求められます。

ワイブル分布確率紙は下のような表です。

※イメージ図:実際はもっとややこしいです。

\[\]

ワイブル分布確率紙では、横軸に\(t\)(下)と\(X=lnt\)(上)が、縦軸に\(F(t)\)(左)と\(Y=lnln\frac{1}{1-F(t)}\) (右)があります。

(o´・ω・)´-ω-)ウン

さて、今までの説明で出てきていないものがあります。

\(F(t)\) です。

\(F(t)\) は累積故障確率で、次の式で表されます。

\[F(t)=1-exp\left\{-\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^m\right\}\]

\(F(t)\) は不信頼度とも言われます。

\[\]

この累積故障確率\(F(t)\) を微分すると、先ほどのワイブル分布の式になります。

\[F(t)=1-exp\left\{-\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^m\right\}\]

\[↓微分↓\]

\[f(t)=\left( \frac{m}{\eta}\right) \left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^{m-1} exp\left\{-\left(\frac{t-\gamma}{\eta}\right)^m\right\}\]

\[\]

ワイブル分布の形状を決める三つのパラメータを決めるには、累積故障確率\(F(t)\) を使います。

しかし、累積故障確率\(F(t)\)もなかなか複雑な式です。

(゜゜(。。(゜゜(。。 ウンウン

そこで、累積故障確率\(F(t)\)をわかりやすく計算するために、ワイブル分布確率紙を使います。

\[\]

ワイブル分布確率紙を使う前に、説明の便宜上まずは位置パラメータ\(\gamma\) を0と考えます。

すると、累積故障確率\(F(t)\)は次のようになります。

\[F(t)=1-exp\left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\}\]

それでは、ワイブル分布確率紙の横軸 \(X=lnt\)、縦軸 \(Y=lnln\frac{1}{1-F(t)}\) を導いていきましょう。

\[\]

\[累積故障確率 F(t)=1-exp\left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\}\]

\[1-F(t)=exp\left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\}\]

両辺に対数をとって

\[ln(1-F(t))=-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\]

両辺に -1 をかけて

\[ln(1-F(t))^{-1}=\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\]

\[ln\frac{1}{1-F(t)}=\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\]

両辺にさらに対数をとって

\[lnln\frac{1}{1-F(t)}=mlnt – mln\eta\]

ここで、\(X=lnt\)、\(Y=lnln\frac{1}{1-F(t)}\) とすると、

\[Y=mX-mln\eta\]

形状パラメータ\(m\)、尺度パラメータ\(\eta\) は定数なので、\(Y=mX-mln\eta\) は一次関数(比例の式)になります。

\[\]

このように、ワイブル分布確率紙とは累積故障確率\(F(t)\) を一次関数に変換し、各パラメータを求めるツールになります。

\[\]



③ワイブル分布確率紙の使い方

ワイブル分布確率紙を使って三つのパラメータを求める手順は以下の通りです。

  1. プロットする方法を決める
  2. プロットした点を通るような直線を引く
  3. 形状パラメータ\(m\) を求める
  4. 位置パラメータ\(\gamma\) を求める
  5. 尺度パラメータ\(\eta\) を求める

\[\]

①プロットする方法を決める

ワイブル分布確率紙には、実際に故障に至った時間や回数をプロットします。

プロットをする際に、プロット位置を決める方法に「a)平均ランク法」と「b)メジアンランク法」があります。

どちらも縦軸に相当する\(i\)番目の故障データの累積故障頻度\(F(t(i))\) を求めます。

\[\]

a) 平均ランク法

\[F(t(i))=\frac{i}{n+1}×100(\%)\]

b)メジアンランク法

\[F(t(i))=\frac{i-0.3}{n+0.4}×100(\%)\]

またはメジアンランク表を使います。

\[\]

実用的には、 \(n\) 数が30個以下の場合はメジアンランク法が使われます。

実際に計算してみます。

例えば、\(n=10\) で\(i=3\) (3番目のデータ)をメジアンランク法で計算すると、

\[F(t(3))=\frac{3-0.3}{10+0.4}=25.96…\%\]

この計算を\(i=1\)から\(i=10\)まで10個分の故障の累積頻度\(F(t(i))\) を、横軸を壊れた順番にプロットしていきます。

\[\]

例)\(i=3\) (3番目のデータ) の場合

\[\]

②プロットした点を通るような直線を引く

「①プロットする方法を決める」でプロットした点を通るような直線を引きます。

直線を引くときには、つぎの3パターンに気をつけてください。

  • a)直線が引ける
  • b)直線が途中で折れる
  • c)直線ではなく、曲線が引ける

\[\]

「a)直線が引ける」場合、そのまま次のステップ③へ進みます。

「b)直線が途中で折れる」場合、二つ(以上)の故障モードが混在している可能性があります。

二つ(以上)の故障モードに層別して、それぞれの故障モード毎にパラメータを決めていきましょう。

「c)直線ではなく、曲線が引ける」場合、適当な位置パラメータ\(\gamma\) を設定し、プロットした点が直線上に並ぶように調整します。

位置パラメータ\(\gamma\) の意味は、ある時間(回数)まではその製品は壊れないということです。

位置パラメータ\(\gamma\)を設定し、プロットした点が直線上に並んだら、次のステップへ進みます。

a)直線が引ける

\[\]

b)直線が途中で折れる

\[\]

c)直線ではなく、曲線が引ける

\[\]

③形状パラメータ\(m\) を求める

「②プロットした点を通るような直線を引く」で引いた直線を、\(X=lnt=1 \qquad Y=lnln\frac{1}{1-F(t)}=0\) を通るように平行移動します。

つぎに、\(X=lnt=0\) の時の\(Y\) の値を読み取ります。

この時の\(Y\) の値に(-)マイナスをかけた値が、形状パラメータ\(m\) となります。

\[\]

では、なぜこの方法で形状パラメータ\(m\) が求められるのでしょうか?

ワイブル分布確率紙では、累積故障率\(F(t)=1-exp\left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\}\) を \(Y=mX-mln\eta\) と変形しました。

\(-mln\eta\) は定数なので、形状パラメータ\(m\) は横軸\(X\)、縦軸\(Y\)の 一次関数の傾きになります。

先ほどの図を一部拡大してみます。

横軸\(X=1\) の幅で縦軸\(Y\) の高さ、すなわち傾きを求めていることがわかります。

ただし、\(Y\) はマイナス方向の高さなので、読み取った形状パラメータ\(m\) にマイナスをかけます。

\[\]



④位置パラメータ\(\gamma\) を求める

位置パラメータ\(\gamma\) を求める場合は、プロットした点が曲線上に並ぶ場合です。

プロットする位置\(t\) を\(t’=t-\gamma\) としてプロットする位置(横軸)を変えます。

適当な\(\gamma\) を代入し、プロットした点が直線上に並べば、それが位置パラメータ\(\gamma\) になります。

上の図を見ると、\(\gamma\) で表される移動量が点によって異なって見えます。

ところが実際は、同じ移動量であることに気をつけてください。

※ワイブル分布確率紙は対数グラフのため、一見すると移動量が異なっているように見えます。

\[\]

なお、プロットした点が最初から直線上にある場合、その製品の位置パラメータ\(\gamma\) は 0 となります。

位置パラメータ\(\gamma\) が 0 の意味するところは、「使い始めたら壊れ始める」です。

\[\]

⑤尺度パラメータ\(\eta\) を求める

最後に尺度パラメータ\(\eta\) を求めます。

「②プロットした点を通るような直線を引く」で引いた直線と\(Y=0\) の交点の\(t\) を読みます。

※平行移動する前の直線です。

これが尺度パラメータ\(\eta\) です。

なぜ、この方法で尺度パラメータ\(\eta\) が求められるのでしょうか?

(。´・ω・)?

\[\]

式 \(Y=mX-mln\eta\)  に \(Y=0\) を代入します。

すると、

\[Y=mX-mln\eta\]

\[0=mX-mln\eta\]

\[mX=mln\eta\]

ここで\(X=lnt\) なので、

\[mlnt=mln\eta ⇒ t=\eta\]

となります。

\(t\) は横軸の下側の値です。

以上で三つのパラメータを求める方法がわかりました。

\[\]

この記事だけでは、実践には心もとないですよね。

そこで、実践編でExcelを使ったワイブル分布解析方法を紹介します。

記事「【実践 6】Excelでワイブル分布の作り方」にまとめますので、読んでみてください。

\[\]

④オススメ書籍の紹介

今回はワイブル分布について紹介してきました。

今回の記事の参考図書を紹介します。↓

少し古い本なので、今の時代では「大丈夫?」って表現があります。

とはいえ、勉強には最適の本なので、ぜひ読んでみてください。

\[\]



⑤まとめ

①ワイブル分布は故障の分布を表す密度関数のこと

②ワイブル分布確率紙とは、ワイブル分布の三つのパラメータを求めるための表

③ワイブル分布確率紙の使い方

  1. プロットする方法を決める
  2. プロットした点を通るような直線を引く
  3. 形状パラメータ\(m\) を求める
  4. 位置パラメータ\(\gamma\) を求める
  5. 尺度パラメータ\(\eta\) を求める

④オススメ書籍、買ってみてね!

\[\]

今回はワイブル分布について学びました。

QC検定1級ではあまり出現頻度の高くない内容です。

しかし、実務では製品の寿命を見積もる際に非常に有効になります。

ぜひ実践で活かしてみてください!

\[\]

⇒オススメ書籍はこちら

⇒サイトマップ

⇒「【実践 6】Excelでワイブル分布の作り方

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