共分散と相関係数　とは

公開日2021年9月26日 　最終更新日 2021年10月16日

みなさんこんにちは、michiです。

前回は指数分布について勉強しました。

今回は、共分散と相関係数について勉強していきます。

QC検定1級でも度々問われるので、しっかり理解しましょう！

キーワード：「共分散」「相関係数」「分散の加法性」

①共分散とは

共分散とは、二つの確率変数 \(X\) と \(Y\) の偏差の積の期待値のことです。

数式で書くと、次のようになります。

\[共分散 Cov(x,y)=\frac{S_{xy}}{n-1}\]

\[=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+…+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})}{n-1}\]

\[=\frac{\sum{x_i y_i}-\frac{(\sum{x_i})(\sum{y-i})}{n}}{n-1}\]

\[\]

\(Cov(x,y)\) は、\(V_{xy}\) と表すこともあります。

(´･ω･`;)

この式だけを見てもイメージがつかないですよね。

そんな場合は、記事「相関関係1　相関係数とは」をご参照ください。

\[\]

さて、この共分散ですが、QC検定2級でも出てきました。

分散の加法性についてです。

確率変数 \(x\) と \(y\) が互いに独立な場合、分散の合計は次のように計算できます。

\[V(x+y)=V(x)+V(y) \qquad V(x-y)=V(x)+V(y)\]

\[\]

例えば、ペンのばらつき\(V(x)\) とリンゴのばらつき\(V(y)\) は、それぞれ互いに独立であるとします。

すると、アッポーペンのばらつき\(V(x+y)\) は、ペンのばらつき\(V(x)\) とリンゴのばらつき\(V(y)\) がそのまま足されるイメージです。

ｳ～( ˘•ω•˘ )～ﾝ　　古い・・・

\[\]

ここでのポイントは、確率変数 \(x\) と \(y\) が互いに独立であることです。

互いに独立であるから、合計の分散\(V(x+y)\) は、それぞれの分散を単純に加算して計算できました。

では、互いに独立ではない場合の分散はどうなるのでしょうか？

(。´･ω･)?

\[\]

確率変数 \(x\) と \(y\) が互いに独立ではない場合、分散の合計は次のように計算できます。

\[V(x+y)=V(x)+V(y)+2Cov(x,y) \qquad V(x-y)=V(x)+V(y)-2Cov(x,y)\]

\[\]

でてきましたね、共分散\(Cov(x,y)\) ！

QC検定2級までは「互いに独立ではない確率変数の分散は、各確率変数のばらつの和と等しくならない」と覚えていれば十分でした。

QC検定1級では、その先の計算が求められます。

\[\]

②共分散を相関係数で表す

共分散\(Cov(x,y)\)は、偏差積和\(S_{xy}\)を用いて、次のように表せます。

\[V_{xy}=\frac{S_{xy}}{n-1}\]

この偏差積和\(S_{xy}\) はどこかで見覚えがありませんか？

(。´･ω･)?

・・・そうです、相関係数 \(r\) です！

相関係数\(r\)は次の式で表されます。

\[r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x・S_y}}\]

\[\]

偏差積和\(S_{xy}\)　がでてきましたね。

\(S_x\) と\(S_y\) は、それぞれ\(x\) と\(y\) の平方和です。

平方和を不偏分散で表すと、

\[V_x=\frac{S_x}{n-1}\qquad V_y=\frac{S_y}{n-1}\]

\[\]

相関係数\(r\) を不偏分散を用いて表すと

\[r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x・S_y}}=\frac{(n-1)V_{xy}}{\sqrt{(n-1)^2V_x V_y}}\]

\[r=\frac{V_{xy}}{\sqrt{V_x V_y}}\]

以上の計算結果から、共分散 \(Cov(x,y)\) = \(V_{xy}\) を相関係数\(r\)で表すと、

\[Cov(x,y)=V_{xy}=r\sqrt{V_x V_y}\]

\[\]

③独立ではない確率変数の分散

共分散 \(Cov(x,y)\) を相関係数\(r\) で表すことができました。

ここでもう一度復習しましょう。

独立した確率変数の分散の和（差）は次の式で表されます。

• \(V(x+y)=V(x)+V(y)\)
• \(V(x-y)=V(x)+V(y)\)

一方、独立ではない確率変数の分散の和（差）は次の式で表されます。

• \(V(x+y)=V(x)+V(y)+2cov(x,y)\)
• \(V(x-y)=V(x)+V(y)-2cov(x,y)\)

共分散 \(Cov(x,y)\)を相関係数\(r\) を用いて表すと、

• \(V(x+y)=V(x)+V(y)+2r\sqrt{V_x V_y}\)
• \(V(x-y)=V(x)+V(y)-2r\sqrt{V_x V_y}\)

\[\]

相関係数\(r\) は (\(-1≦r≦1\)) の値をとる定数です。

もし、\(r=0\) の場合を考えると、

\[V(x±y)=V(x)+V(y)±2r\sqrt{V_x V_y}=V(x)+V(y)\]

となり、独立した確率変数の分散の和（差）と同じ式になります。

これは 相関係数\(r=0\) 、すなわち二つの確率変数が相関関係にない状態を表します。

\[\]

実務的には、実験から得られた相関係数\(r\) がピッタリ\(r=0\) とならなくても、二つの確率変数が独立であることが明らかな場合は、相関係数\(r=0\)とします。

逆に、相関係数\(r\) が\(r≠1\) であっても、二つの確率変数に相関関係があることが明確であるならば、相関係数\(r=1\) とします。

\[\]

例えば、1本の木の角柱から四角い枠を作る場合を考えます。

使える角柱の材料の長さが決まっているので、四角い枠の縦の長さと横の長さは相関関係にあります。

\[\]

④無相関の検定　

相関係数\(r\) が0か1で明確な場合は、分散の計算はできます。

問題は、相関関係があるかないかの判断が必要なときです。

そこで、母相関係数\(ρ=0\) かどうかを検定する方法があります。

それが無相関の検定です。

\[\]

無相関の検定統計量\(t_0\) は次の式で計算します。

\[t_0=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\]

この検定統計量\(t_0\) は、自由度 \(n-2\) の t分布に従います。

また、相関係数\(r\) は、母相関係数\(ρ=0\) の母集団からサンプリングされた標本の相関係数になります。

\[\]

標本の相関係数\(r\) を使って、母集団の相関係数\(ρ\) に対する仮説検定を行っています。

このとき、帰無仮説\(H_0:ρ=0\)、対立仮説\(H_1:ρ≠0\) となります。

\(t_0=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\) は、QC検定2級でも出題されるので、覚えておきましょう！

\[\]

まとめ

①\(共分散 Cov(x,y)=\frac{S_{xy}}{n-1}\)

②\(共分散 Cov(x,y)=r\sqrt{V_x V_y}\)

③独立ではない確率変数の分散の和（差）は

• \(V(x+y)=V(x)+V(y)+2cov(x,y)\)
• \(V(x-y)=V(x)+V(y)-2cov(x,y)\)

④無相関の検定統計量 \(t_0\)は

\[t_0=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\]

\[\]

今回は独立ではない場合のばらつきについて学びました。

このあたりからQC検定1級は難しくなってきます。

無相関の検定統計量は、QC検定2級でも満点阻止問題（？）として出題されることがあるので、覚えておきましょう！

\[\]

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