QC検定2級 出題範囲

ポアソン分布について

公開日2020年4月5日  最終更新日 2022年7月25日

みなさんこんにちは、michiです。

前回までは二項分布について考えてきましたが、QC検定2級では「ポアソン分布」という確率分布も出題されます。

ポアソン分布は「ごくまれに発生する現象」についての確率分布です。

今回はポアソン分布について学んでいきましょう。

キーワード 「ポアソン分布」「ポアソンの少数の法則」

①ポアソン分布とは…

ポアソン分布の一般式は以下の通りです。

\[P(x)=\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}\]

λ:母平均、 x:発生回数、 e:ネイピア数(微積分しても値の変わらないアレ)

期待値 \(E(x)=λ\) 、 分散 \(V(x)=λ\)

なんと期待値と分散が同じ値=\(λ\) で表されます。

\[\]

指数計算の復習もかねて、例題を考えてみましょう。

ごくまれに発生する現象」ですので・・・1/400くらいの確率を考えます。

※好きな人と両想いになれる確率らしいです・・・

\[\]

この分布がポアソン分布に従うと仮定すると、もし1000人の異性に会うとして ①だれとも両想いになれない確率 ②1人の人と両想いになれる 確率は、

①だれとも両想いになれない確率: \(P(0)=\frac{2.5^0・e^{-2.5}}{0!}=・・・=0.082\) ※約8.2%

②1人の人と両想いになれる確率:  \(P(1)=\frac{2.5^1・e^{-2.5}}{1!}=・・・=0.205\) ※約20.5%

※つまり1000人の婚活パーティーでも、ザンネン80人は確率的に片思いです。

\[\]

計算するにあたって、とりあえず\(λ=2.5\) ってどこからきたか疑問ですよね。

でもこの値「 \(λ=\)母平均」は簡単に求まります。

なぜなら、今両想いの確率は1/400で、1000人の異性に会うのですから・・・

\[1÷400×1000=2.5\]

\[\]

つぎに、0乗と0の階乗ですが、 \(2.5^0=1\)、\(0!=1\) これは定義です。

この記事では紹介しませんが、そうなるんだ!と覚えてください。

(・ω・)ゞ

すると、

①だれとも両想いになれない確率: \(P(0)=\frac{2.5^0・e^{-2.5}}{0!}=\frac{1・e^{-2.5}}{1}=0.082\) 

\[\]

また、\(2.5^1=2.5\)、 \(1!=1\) ですので、

②1人の人と両想いになれる確率:  \(P(1)=\frac{2.5^1・e^{-2.5}}{1!}=\frac{2.5・e^{-2.5}}{1}=0.205\)  

これで計算はバッチリ・・・と言いたいのですが

\[\]

そうです、肝心の \(e^{-2.5}\) の計算がわからないです!

(;´・ω・)

これはエクセルで計算した値なのですが、QC検定中にエクセルなんて使えません。

\[\]

しかし、ご安心ください。

(。´・ω・)?

QC検定では\(e^{-x}\)の計算結果は問題文中に書かれています。

また、乗数も0か1くらいしか出てこないので、試験はこの記事の内容だけでなんとかなります。

\[\]



②なぜポアソン分布?

もう一度ポアソン分布の式を見てみましょう

\[P(x)=\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}\]

λ:母平均、 x:発生回数、 e:ネイピア数(微積分しても値の変わらないアレ)

二項分布の式は、以下の通りでした。

\[ P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} \]

全然ちがう計算式にみえますが、ポアソン分布は二項分布の式から派生しています。

そのような理由もあってか、QC検定2級では二項分布とポアソン分布が出題されます。

もう少し詳しくみてみましょう。

(。´・ω・)?

\[\]

③二項分布からポアソン分布へ

先ほどの「両想いになれる確率」をもう一度考えましょう。

両想いになれる確率は1/400なので、\(n=400,\quad p=0.0025\)となります。

今度は、5人の人と両想いになれる確率を、二項分布で考えてみます。すると、

\[P(5)=\scriptsize{400}\large{C}\scriptsize{5} × (0.0025)^ 5 × (0.9975)^{395}\]

・・・(;´Д`)

いや、もう、計算したくない・・・

あ、でも期待値は簡単に計算できましたよね。

期待値は\(E(x)=np\) ですので、今回の場合は\(np=1\) です。

実は、この \(np=λ\) とすることで、二項分布⇒ポアソン分布 となります。

\[\]

このことを「ポアソンの少数の法則」と言います。

※少数とは少ない数という意味で、小数(1より小さい数)とは意味が異なります。

\[\]



④ポアソンの少数の法則の証明

ではなぜ、\(P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} \) ⇒ \(\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}\) となるのでしょうか?

まず前提条件として、ポアソン分布は「ごくまれに発生する現象」なので、\(n\)⇒大、\(p\)⇒小 であり、\(np≒λ\) とします。

※発生する確率 \(p\)⇒小 の時、発生回数 \(x\)⇒小 となります。

わかりやすく考えるため、初めに数式をいくつか式変形しておきます。

\[\scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x}=\frac{n!}{(n-x)!・x!}=\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{x!}\]

\[p^x=\left(\frac{λ}{n}\right)^x=\frac{λ^x}{n^x}\]

\[(1-p)^{n-x}=(1-p)^n(1-p)^{-x}\]

\[(1-p)^n=\left(1-\frac{λ}{n}\right)^n≒e^{-λ}\]

\[(1-p)^{-x}≒1\]

上から順に、

  • \(\scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x}\)は、Conbinationを変形 分子の数字のカズは、\(x\) の値と同じになる。※1
  • \(p^x\) \(p=\frac{λ}{n}\)を代入
  • \((1-p)^{n-x}\) を分解して\((1-p)^n(1-p)^{-x}\)
  • \((1-p)^{-x}\)  は\(p\)⇒メチャクチャ小さい数、\(x\)は有限の数なので、ほぼ 1
  • \((1-p)^n=(1-\frac{λ}{n})^n\)   は \(p=\frac{λ}{n}\)を代入、そこから\(n\)⇒∞の極限をとって、\((1-\frac{λ}{n})^n ≒ e^{-λ}\) ※2

※1 例えば \(\scriptsize{7}\large{C}\scriptsize{3}\)では、分子の掛け算する数字のカズは、\(x=3\) 個の数字を掛け算しています。

\[\scriptsize{7}\large{C}\scriptsize{3} = \frac{7・6・5}{3・2・1} \]

※2 \((1-\frac{λ}{n})^n ≒ e^{-λ}\) のところですが、これは以下の公式からきています。

\[\displaystyle \lim_{n\to\infty}{(1+\frac{x}{n})}^n = e^x\]

この式で、\(x =\quad – λ\) とすることで、※2 の式変形が可能となります。

詳しくは、ここで説明しません。

(;´Д`)💦

準備が整ったので、二項分布の式を計算していきます。

\[P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} \]

\[=\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{x!}  × \frac{λ^x}{n^x} ×(1-p)^n(1-p)^{-x}\]

\[=\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}  ×\frac{λ^x}{x!} ×e^{-λ}\]

\[=\frac{λ^x×e^{-λ}}{x!}\] 

これで証明終了なのですが、ひとつ疑問がありますよね?それについて考えていきましょう。

\[\]

⑤\(\quad\large{\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}}\)   はどこへ消えた?

さて、「ポアソンの少数の法則」より、二項分布からポアソン分布への変形

\[P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} ⇒ \frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}\]

は証明できました。

ところで、 \(\large{\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}}\) はどこに消えたのでしょうか?

(。´・ω・)?

\[\]

\[\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}  ×\frac{λ^x}{x!} ×e^{-λ}=\frac{λ^x×e^{-λ}}{x!}\]

という結果より、 \(\large{\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}} = 1\) となったようです。

\[\]

このことを考えてみます。

まず、分子の \(n(n-1)・・・(n-x-1)\) ですが、これは \(x\)個の異なる数字を掛け算した値です。

 ※\(\scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x}\)の計算を思い出してみてください。

また、分母は\(n\)を\(x\)回掛け算した値ですので、以下のように式変形できます。

 \[\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x} \quad= \frac{n}{n} ×\frac{n-1}{n}×・・・×\frac{n-x-1}{n}\]

\[=\frac{n}{n}×\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)×・・・×\left(\frac{n}{n}-\frac{x+1}{n}\right)\]

\[\]

さて、いま \(n\) はすごく大きい数 \(n\)⇒大 という前提条件でした。

つまり、\(\frac{1}{n} ⇒ 0\) へと収束します。すると、

\[\frac{n}{n}-\frac{1}{n} ⇒ \frac{n}{n}\quad = 1\]

となります。また、発生回数\(x\) は\(n\)に比べるとすごく小さい数なので、\(\frac{x+1}{n} ⇒ 0\) も同様に成り立ちます。

\[\frac{n}{n}-\frac{x+1}{n} ⇒ \frac{n}{n}\quad = 1\]

さぁ、もうおわかりですね、

\[\frac{n}{n}×\left(\frac{n}{n}-\frac{1}{n}\right)×・・・×\left(\frac{n}{n}-\frac{x+1}{n}\right)\]

\[≒\frac{1}{1}×\left(\frac{1}{1}-0\right)×・・・×\left(\frac{1}{1}-0\right)\quad=1\]

これで、\(P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} ⇒ \large{\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}}\) の説明はおわりです。

\[\]



⑥ポアソン分布の式の覚え方

二項分布からポアソン分布の式への説明はわかりましたが、QC検定の時にその形を覚えている必要があります。

ということで、語呂を考えました。

\[\]

「平常かい?異常まいった、貝ビックリ Σ(・ω・ノ)ノ!」

\[P(x)=\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}\]

λ:母平均、 x:発生回数、 e:ネイピア数(微積分しても値の変わらないアレ)

「平常かい?」は「均の数が発生数」、「異常まいった」は「\(\large{e}\)数がマイナスの均」、「貝ビックリ Σ(・ω・ノ)ノ!」は「発生数の階乗(!)」を表します。

※「異常まいっ」のところですが、「平」は「いら」と読めますよね!!

語呂にむりがあるって? キコエナイ・・・ ♪~( ̄ε ̄;)

「Σ(・ω・ノ)ノ!」を付けた理由はノリです。

何回かこの呪文を唱えることで、きっと覚えられることでしょう。

\[\]

⑦ポアソン分布の期待値と分散

最後にポアソン分布の期待値 E(x)=λ 、 分散 V(x)=λ について簡単に説明します。

まず期待値ですが、二項分布の期待値は \(E(x)=np\)   でした。

ポアソン分布では、 \(np=λ\) としたので、ポアソン分布も期待値\(E(x)=λ\) となります。

\[\]

次に分散ですが、二項分布の分散は \(V(x)=np(1-p)\)  でした。

ポアソン分布では、\(n\)⇒大、\(p\)⇒小 という前提条件ですから、\((1-p) ≒ 1\) となります。つまり、

\[ V(x) = np(1-p)  ≒ λ×1 =λ\] 

ポアソン分布で困ったら、とりあえず λ !!!

\[\]



まとめ

①ポアソン分とは「ごくまれに発生する現象」の確率分布

②二項分布とポアソン分布は親戚みたいなもの

③期待値 \(np⇒λ\) とすることで、ポアソンの少数の法則より、\(P(x) = \scriptsize{n}\large{C}\scriptsize{x} × p^ x × (1-p)^{n-x} ⇒ \large{\frac{λ^x・e^{-λ}}{x!}}\) 

④二項分布の \(n⇒大\) \(p⇒小\) がポアソン分布

⑤厄介な\(\quad\large{\frac{n(n-1)・・・(n-x-1)}{n^x}}\) は \(1\)になる。

⑥覚え方は「平常かい?異常まいった、貝ビックリ Σ(・ω・ノ)ノ!」

⑦ポアソン分布では、期待値も分散も λ 

\[\]

次回は期待値と分散の性質について勉強していきましょう!

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