平方和の式の暗記法

公開日2020年1月25日 　最終更新日 2022年4月5日

みなさんこんにちは　michiです。

QC検定や統計の勉強をすると、平方和の式が覚えづらいと感じることはありませんか？

そこでおぼえやすい語呂合わせを考えました！

この記事では、平方和の暗記法と平方和の意味を説明していきます。

キーワード：「平方和」「ばらつき」

①平方和の覚え方

「庭にひくサンプル分のワニ」

おぼえにくいですかね？下のようなイメージです。

語呂だけ覚えても意味ないですよね、おぼえる数式は下の式になります。

\[ \sum x_i^2　-　\frac{(\sum x_i)^2}{n}\]

\[ x_i の i はデータ数, nはサンプル数\]

最初の項でサンプル値各々の「二乗の和」を計算し、そこからサンプル値の「（全体の）和の二乗」をサンプル数で割った値で引き算します。

この計算で、ややこしい平方和の計算が楽になります。

「庭にひくサンプル分のワニ！」

\[\]

②計算例

下の表 1段目は 6個のデータ(データA から データF )の値が、それぞれ 1から 6であることを表します。

2段目は6個のデータそれぞれを 2乗した結果とその合計(和）です。

	データA	データB	データC	データD	データE	データF	合計(和）
\[x_i\]	1	2	3	4	5	6	21
\[x_i^2\]	1	4	9	16	25	36	91

これを先ほど覚えた「庭にひくサンプル分のワニ」を使うと、

\[ 平方和 (S)　=　91　-　 \frac{21 \times 21}{6} = 17.5\]

上の例では、「庭」　が「二乗の和 = 91」、「にひく」が「-　マイナス」、「サンプル分」が　「データの数 = 6 (分母)」、「ワニ」が「和の二乗 = 21 × 21」　を表します。

\[\]

一見すると複雑な計算に見えますが、平方和の定義から計算するよりは楽な場合が多いです。

\[\]

③平方和　とは？

いきなり平方和の式の暗記方法と実例をあげましたが、そもそも平方和とは何で、何のために計算するのでしょうか？

本来、「平方和の定義」は以下の式で計算されます。

\[ 平方和 (S)　＝　\sum (x_i – \overline{x})^2 \]

\[ \overline{x} は x の平均値を表します。\]

この式の意味は、「各測定値　－　測定値の平均　の　2乗　の合計」です。

つまり、平方和は「平均からのずれの合計」を表すため、データ全体の「ばらつき」を評価するときに有効です。

\[\]

では、なぜずれを評価するために 二乗するのでしょうか？

それは、　「マイナス　をださないため」　です。

(。´･ω･)?

先ほどの例で、平均値からのずれの合計を二乗しないで、ばらつきとして評価してみましょう。

平均値が3.5ですので、

\[ (1 – 3.5) + (2 – 3.5) + (3 – 3.5) + (4 – 3.5) + (5 – 3.5) + (6 – 3.5)\]

\[(-2.5)+(-1.5)+(-0.5)+0.5+1.5+2.5 \qquad = 0\]

このように、プラスマイナスが打ち消しあって0となってしまいます。

これでは、データごとのばらつきが評価できません！

┐(´д｀)┌

\[\]

では、「平方和の定義」に従って先ほどの計算をしてみましょう。

\[ (1 – 3.5)^2 + (2 – 3.5)^2 + (3 – 3.5)^2 + (4 – 3.5)^2 + (5 – 3.5)^2 + (6 – 3.5)^2=\]

\[= 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25　= 17.5 \]

0にはなりませんね。

先ほどと同じ計算結果になりました。（っほ。

\[\]

エクセルなどの計算ソフトを使う場合は別として、QC検定試験ではこの計算は時間もかかり、ミスも増えそうです。

平方和の計算では、「庭にひくサンプル分のワニ」を利用してみてください。

\[\]

④なぜ「庭にひくサンプル分のワニ」になるのか？

計算式「庭にひくサンプル分のワニ」を証明します。

\[ 平方和 (S)　＝　\sum (x_i – \overline{x})^2 \]

\[= \sum(x_i^2　- 2 \times x_i \times\ \overline{x}　+ \overline{x}^2) \]

ここで、平均値は測定値の合計をサンプル数でわった値なので、

\[\overline{x}　=　\frac{\sum x_i}{n}　 \]　

また、平均値のΣ（シグマ：先ほどの例では、サンプル数6）は、合計値＝平均値 × サンプル数　を意味するので、

\[\sum \overline{x}　=　n \times \overline{x} \]　

よって、計算をすすめると

\[= \sum x_i^2　- 2 \times \sum x_i \times (\frac{\sum x_i}{n})　+ n \times(\frac{\sum x_i}{n})^2 \]

\[ =\sum x_i^2　- 2 \times \frac{(\sum x_i)^2}{n}　+ \frac{(\sum x_i)^2}{n} \]

\[= \sum x_i^2　-　\frac{(\sum x_i)^2}{n}\]

なるほど！Σ(･ω･ﾉ)ﾉ！

納得していただけたでしょうか？

\[\]

⑤平方和じゃない！？　SUMSQ関数とは

平方和の計算はデータが増えてくると、計算が面倒です。

そこでエクセル関数を使って計算してみましょう。

\[\]

google先生によると、「SUMSQ関数」で平方和が計算できるようです。

φ(･ω･ )ﾌﾑﾌﾑ…

\[\]

ではここで問題です。

問）次の数字の集団の平方和を計算しましょう

\[{8,9,10,11,12}\]

\[\]

「庭にひくサンプル分のワニ」で計算すると、

二乗和は

\[8^2+9^2+10^2+11^2+12^2 = 510\]

和の二乗は

\[(8+9+10+11+12)^2=2500\]

サンプル数が　5　なので、 「庭にひくサンプル分のワニ」 は

\[510-\frac{2500}{5}=10\]

\[\]

計算できました！

ところで、今回の問題だと「③平方和とは？」に書いた定義から計算する方法が早いです。

平均値は 10　なので

\[(8-10)^2+ (9-10)^2+ (10-10)^2+ (11-10)^2+ (12-10)^2 \]

\[=4+1+0+1+4=10\]

\[\]

それでは、エクセル関数「SUMSQ関数」の出力結果を確認しましょう。

Σ(･ω･ﾉ)ﾉ！

いやはや、　10　になりません！

\[\]

理由は、Excel関数「SUMSQ関数」では、「平方の和」を計算しているからです。

平方とは二乗という意味です。

その和なので、 「平方の和」 となるわけです。

計算は

\[8^2+9^2+10^2+11^2+12^2 = 510\]

です。

\[\]

つまり 「SUMSQ関数」では、 「平均値と各値の差分の平方の和(=平方和)」を計算しているのではなく、「各値の平方の和」を計算しているのです。

これは注意が必要ですね！

( •̀ω •́ゞ)✧ﾗｼﾞｬ

\[\]

まとめ

①平方和の暗記法は「庭にひくサンプル分のワニ」

②計算例といてみた

③平方和は、測定値と平均値のずれ　の二乗　の合計値

④なぜ「庭にひくサンプル分のワニ」になるのか、証明してみた

⑤ エクセル関数「SUMSQ関数」では「平方の和」を計算している

\[\]

次回の記事では「平方和」と「不偏分散」について学びましょう！

⇒オススメ書籍はこちら

⇒サイトマップ