公開日2021年1月12日 最終更新日 2021年9月12日
みなさんこんにちは、michi です。
それでは早速3級の問題を解いてみましょう！
今回のテーマは、 範囲、平方和、不偏分散、標準偏差 です。
※今回は電卓を使わないと難しいかもしれません。
問）友達のボディービルダー6人の体重を測ると次の通りとなった。
\[80kg\qquad 82kg\qquad 84kg\qquad 82kg\qquad 86kg\qquad 87kg\]
この時、以下を求めましょう。
- 範囲
- 平方和
- 不偏分散
- 標準偏差
答え・解説は↓
解答）
※ドラッグで表示
- 範囲: 7
- 平方和: 35.5
- 不偏分散: 7.1
- 標準偏差: 2.665
\[\]
解説）
範囲とは、標本データの最大値と最小値の差のことです。
今回のデータの最大値は87kg、最小値は80kgですので、範囲は 7(kg)となります。
\[\]
平方和の解き方は二通りあります。
①各値と平均値との差 の二乗の合計
②各値の二乗の合計 から 合計値の二乗をサンプル数で割った値を 引いた値
\[\]
まずは「①各値と平均値との差 の二乗の合計」 で求めます。
まず平均値ですが、平均値は\((80+82+84+82+86+87)÷6 =83.5\) となります。
よって平方和は以下の計算より求まります。
\[(80-83.5)^2+(82-83.5)^2+(84-83.5)^2+\]
\[(82-83.5)^2+(86-83.5)^2+(87-83.5)^2\]
\[=(3.5)^2+(-1.5)^2+(0.5)^2+(-1.5)^2+(2.5)^2+(3.5)^2\]
\[=35.5\]
\[\]
次に、「②各値の二乗の合計 から 合計値の二乗をサンプル数で割った値を 引いた値」で求めてみます。
各値の二乗の合計は
\[80^2+82^2+84^2+82^2+86^2+87^2=41869\]
となります。合計値の二乗をサンプル数で割った値は、
\[\frac{(80+82+84+82+86+87)^2}{6}=\frac{501^2}{6}=41833.5\]
よって平方和は、
\[41869-51833.5=35.5\]
となります。
この公式の覚え方は、「庭にひくサンプル分のワニ」です。
\[\]
①でも②でも同じ結果となりました！
\[\]
次は不偏分散を求めます。
不偏分散は、平方和を自由度で割った値になります。※詳細はこちら
今回サンプル数は6ですので、自由度は、\(6-1=5\) となります。
よって不偏分散は、
\[\frac{平方和}{自由度}=\frac{35.5}{5}=7.1\]
となります。
\[\]
最後に標準偏差です。
標準偏差は、不偏分散の平方根でした。※詳細はこちら
よって標準偏差は以下のように計算できます。
\[\sqrt{不偏分散}=\sqrt{7.1}=2.66458…≒2.665\]
\[\]
問題はシンプルでしたが、シンプルゆえ計算式を覚えていないと解けなかったかもしれません。
2級はもちろん3級でも必須の数式なので覚えましょう！
\[\]
