公開日2021年1月12日 最終更新日 2021年9月12日
みなさんこんにちは、michi です。
それでは早速3級の問題を解いてみましょう！
今回のテーマも前回に引き続き、 工程能力指数 です。
今回はちょっと難しいですよ！
問）箱で購入したみかんすべての重さを測り、工程能力指数 \(Cp\) を計算すると 0.8 となり、\(Cpk\) を計算すると、下側規格に対して 0.2 となった。
みかんの上限規格は 120g、下限規格は 96g でした。
また、みかんの平方和 \(S\) は 2500 でした。
\[\]
この時、箱に入っていたみかんの総数と総重量を答えましょう。
ただし、箱の重さは計算にいれません。
\[\]
答え・解説は↓
解答）
※ドラッグで表示
- みかんの総数：101 個
- みかんの総重量： 9999 g
\[\]
解説）
今回の問題は、工程能力指数 \(Cp\) から標準偏差 \(σ\) を求め、標準偏差 \(σ\) から不偏分散を求めます。
\[平方和=不偏分散×自由度\]
なので、自由度が求められます。
自由度は「サンプル数 – 1」でしたから、サンプル数(＝みかんの総数)が分かります。
\[\]
次に、工程能力指数 \(Cpk\) 、標準偏差 \(σ\) と下限規格が与えられていることから、平均値を求めます。
\[みかんの総重量＝みかんの平均値 × みかんの総数\]
で計算します。
では、早速の詳細な解説に入ります！
\[\]
まずは、工程能力指数 \(Cp\) から標準偏差 \(σ\) を求めます。
工程能力指数 \(Cp=0.8\) 、上限規格は 120g、下限規格は 96g なので
\[工程能力指数(Cp) = \frac{上限規格 – 下限規格}{6 × 標準偏差(σ)}\]
\[0.8 = \frac{120-96}{6×σ}\]
\[6×σ=\frac{24}{0.8}\]
\[σ=\frac{30}{6}\]
\[σ=5\]
となります。
標準偏差 \(σ\) がわかりましたので、不偏分散 \(V\) を求めます。
\[不偏分散 V = (標準偏差 σ)^2 =5^2=25\]
\[\]
平方和 \(S\) が 2500 であることから、自由度を計算すると、
\[平方和=不偏分散×自由度\]
\[2500=25×自由度\]
\[自由度=100\]
ここで注意ポイントです！
計算したのは自由度であり、サンプル数（みかんの総数）ではありません！
\[自由度=サンプル数 – 1\]
なので、箱に入っていたみかんの総数は 101個 となります。
\[\]
次に総重量を求めるのですが、片側規格の工程能力指数 \(Cpk\) を使います。
片側規格の工程能力指数 \(Cpk\) は以下の式で表されました。
\[片側工程能力指数(Cpk) = \frac{平均値 -下限規格 }{3 × 標準偏差(σ)}\]
※ちなみに上限規格の場合は次の式で表されます。
\[片側工程能力指数(Cpk) = \frac{上限規格 – 平均値}{3 × 標準偏差(σ)}\]
\[\]
\(Cpk\) と下限規格は問題文より与えられています。
標準偏差 \(σ\) については、先ほどのサンプル数を計算する際に求めました。
よって、平均値を求めると・・・
\[片側工程能力指数(Cpk) = \frac{平均値 -下限規格 }{3 × 標準偏差(σ)}\]
\[0.2= \frac{平均値 -96 }{3 × 5}\]
\[平均値-96=0.2 ×15\]
\[平均値=3+96 =99\]
\[\]
個々のみかんの重さはわかりませんが、「重量の平均値×総数=総重量」となることから、次のように計算できます。
\[みかんの総重量＝みかんの平均値 × みかんの総数\]
\[みかんの総重量＝99× 101\]
\[みかんの総重量＝9999\]
\[\]
今回の問題は複合的な問題となりました。
今回の解説の詳細は以下の記事を参考にしてみてください。
今回のような問題が試験本番で出ることはまずないと思いますが、出たら頑張りましょう。
╭( ･ㅂ･)و̑ ｸﾞｯ
逆にうまく解けた人は、自信を持って試験に臨みましょう！
╭( ･ㅂ･)و̑ ｸﾞｯ
\[\]
