QC検定2級 出題範囲

不偏分散ではだめ?なぜ標準偏差?

公開日2020年2月9日  最終更新日 2022年4月2日

みなさんこんにちは、michiです。

前回の記事で不偏分散の計算方法とその意味をまなびました。

不偏分散をまなぶことで、サンプル数が異なっていても「ばらつき」を評価できるようになったのに、なぜ標準偏差を考える必要があるのでしょうか?

それは、測定値と次元が違うからです。

(。´・ω・)?

どういうことか、学んでいきましょう!

キーワード: 「標準偏差」

\[\]

①標準偏差とはなにか

標準偏差は、次の式で表されます。

\[ 標準偏差 = \sqrt {不偏分散} \]

簡単ですね。

標準偏差は、不偏分散の平方根(√ ルート)になります。

\[\]

こんな簡単な計算なら、不偏分散のままでよい気もしますが、平方根をとる理由があります。

それは、冒頭にも書きましたが、「次元が違うから」です。

(。´・ω・)?

\[\]

どういうことでしょうか?

不偏分散は平方和を自由度で割って求めました。

その平方和は、測定値と平均からのずれを二乗した合計でした。

そうです、二乗してしまったため、不偏分散と平方和は、本来のデータの次元より一つあがってしまうのです!

\[\]

次の例を考えてみましょう。

ある生産ラインで作られている製品の「長さ」の「ばらつき」を評価します。

ばらつきを評価するために、平方和を計算し、不偏分散を求めました。

\[\]

しかし、得られた不偏分散は、「長さ」を二乗して計算した値ですので、「面積」の単位になります。

これでは、「長さ」のばらつきを評価していることにはなりません・・・

(;´・ω・)

\[\]



②標準偏差を考える理由

平方和や不偏分散では、ばらつきの単位が異なることがわかりました。

そこで、標準偏差(=不偏分散の平方根)を考えるのですが、その前に問題です。

問)「ばらつき」の単位はなんでしょうか?

(。´・ω・)?

\[\]

答えは、 何の「ばらつき」を見ているかにより変わる です。

テストの点数では「点」ですし、長さなら「メートル」や「ヤード」かもしれません。

「ばらつき」は評価しようとするデータの単位に依存します。

\[\]

つまり「ばらつき」の単位を考慮して評価するのであれば、測定値や見たいデータの単位に合わせる必要があります。

先ほどの例では、「長さ」の不偏分散が「面積」の単位になっているため、不偏分散のみでは、「長さ」の「ばらつき」のを求めることができません。

このような背景から、測定値の「ばらつき」のを求めるために、標準偏差を考え、単位の次元をそろえるのです。

③標準偏差が小さくなればOK?

標準偏差の意味や考え方がわかってきましたね。

では、次のグラフ1とグラフ2を見比べてください

グラフ1:標準偏差 0.185
グラフ2:標準偏差 0.141

二つのグラフを見比べると、グラフ1よりもグラフ2の標準偏差が小さくなっています。

つまり、グラフ2のほうが「ばらつき」は小さくなった! と考えられそうです。

ところが、実はどちらも元データは同じなのです。

Σ(・ω・ノ)ノ!

\[\]

グラフ1のデータはグラフ2のデータから5点を抽出しただけです。

つまり、数字上は確かに「ばらつき」は小さくなっていますが、実はただデータ点数が違うだけで、同じものを表しているわけです。

このように、測定データの評価を単純に標準偏差のみで考えると、誤った答えをだす可能性があるので気を付けましょう!

では、どう評価すればよいのか?については、別の記事「検定とは」や各推定の記事で解説します。

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④標準偏差のもうひとつの意味

標準偏差の意味と注意点を学びました。

ここでもう一つ、重要な性質があります。

それは、「平均値から標準偏差だけ離れた値は変曲点になる」ということです。

┐(´∀`)┌

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一般的に製品の分布特性は正規分布することが多いです。

イメージとしては、目標値を中心値として裾が広がったような形になります。(下図)

正規分布のイメージ

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この正規分布をよく見ると、中心付近は「上に凸の曲線」で、中心から外れると「下に凸の曲線」となっていることが分かります。

では、正規分布に中心値(平均値)から標準偏差だけ離れた点にマークをしてみます。

グラフが「上に凸の曲線」から「下に凸の曲線」に変わる変化点を変曲点と言います。(下に凸⇒上に凸 も変曲点)

すると、なんとこの変曲点はグラフの中心値から標準偏差(\(σ\))離れた点になるのです!

この性質は、「工程能力指数」の理解を深めていくうえで重要になってきます。

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まとめ

①\( 標準偏差 = \sqrt {不偏分散} \)

②ばらつきのを求めるために、不偏分散ではなく標準偏差を考える

③標準偏差が小さくなったからといって「ばらつき」が小さくなったとは言えない

④平均値から標準偏差だけ離れた値は変曲点になる

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次回の記事では標準偏差を利用する統計量、変動係数について勉強していきましょう!

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  1. […] 次回の記事では、不偏分散から標準偏差について勉強していきましょう! […]

  2. […] 前回の記事では、標準偏差とその意味をまなびました。 […]

  3. […] この答えのヒントは、記事「不偏分散ではだめ?なぜ標準偏差」に書かれています。 […]

  4. […] ここで分母の「(σ)」 ですが、記事「不偏分散ではだめ?なぜ標準偏差?」を参考にすると下図を見つけられます。 […]

  5. […] 標準偏差は、不偏分散の平方根でした。※詳細はこちら […]

  6. […] ここで分母の「(σ)」 ですが、記事「不偏分散ではだめ?なぜ標準偏差?」を参考にすると下図を見つけられます。 […]

  7. […] 「不偏分散ではだめ?なぜ標準偏差?」 […]

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