不偏分散ではだめ？なぜ標準偏差？

公開日2020年2月9日 　最終更新日 2022年4月2日

みなさんこんにちは、ｍichiです。

前回の記事で不偏分散の計算方法とその意味をまなびました。

不偏分散をまなぶことで、サンプル数が異なっていても「ばらつき」を評価できるようになったのに、なぜ標準偏差を考える必要があるのでしょうか？

それは、測定値と次元が違うからです。

(。´･ω･)?

どういうことか、学んでいきましょう！

キーワード：　「標準偏差」

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①標準偏差とはなにか

標準偏差は、次の式で表されます。

\[ 標準偏差 = \sqrt {不偏分散} \]

簡単ですね。

標準偏差は、不偏分散の平方根（√　ルート）になります。

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こんな簡単な計算なら、不偏分散のままでよい気もしますが、平方根をとる理由があります。

それは、冒頭にも書きましたが、「次元が違うから」です。

(。´･ω･)?

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どういうことでしょうか？

不偏分散は平方和を自由度で割って求めました。

その平方和は、測定値と平均からのずれを二乗した合計でした。

そうです、二乗してしまったため、不偏分散と平方和は、本来のデータの次元より一つあがってしまうのです！

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次の例を考えてみましょう。

ある生産ラインで作られている製品の「長さ」の「ばらつき」を評価します。

ばらつきを評価するために、平方和を計算し、不偏分散を求めました。

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しかし、得られた不偏分散は、「長さ」を二乗して計算した値ですので、「面積」の単位になります。

これでは、「長さ」のばらつきを評価していることにはなりません・・・

(;´･ω･)

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②標準偏差を考える理由

平方和や不偏分散では、ばらつきの単位が異なることがわかりました。

そこで、標準偏差（＝不偏分散の平方根）を考えるのですが、その前に問題です。

問）「ばらつき」の単位はなんでしょうか？

(。´･ω･)?

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答えは、　何の「ばらつき」を見ているかにより変わる　です。

テストの点数では「点」ですし、長さなら「メートル」や「ヤード」かもしれません。

「ばらつき」は評価しようとするデータの単位に依存します。

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つまり「ばらつき」の値を単位を考慮して評価するのであれば、測定値や見たいデータの単位に合わせる必要があります。

先ほどの例では、「長さ」の不偏分散が「面積」の単位になっているため、不偏分散のみでは、「長さ」の「ばらつき」の値を求めることができません。

このような背景から、測定値の「ばらつき」の値を求めるために、標準偏差を考え、単位の次元をそろえるのです。

③標準偏差が小さくなればOK?

標準偏差の意味や考え方がわかってきましたね。

では、次のグラフ1とグラフ2を見比べてください

二つのグラフを見比べると、グラフ1よりもグラフ2の標準偏差が小さくなっています。

つまり、グラフ2のほうが「ばらつき」は小さくなった！　と考えられそうです。

ところが、実はどちらも元データは同じなのです。

Σ(･ω･ﾉ)ﾉ！

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グラフ1のデータはグラフ2のデータから5点を抽出しただけです。

つまり、数字上は確かに「ばらつき」は小さくなっていますが、実はただデータ点数が違うだけで、同じものを表しているわけです。

このように、測定データの評価を単純に標準偏差のみで考えると、誤った答えをだす可能性があるので気を付けましょう!

では、どう評価すればよいのか？については、別の記事「検定とは」や各推定の記事で解説します。

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④標準偏差のもうひとつの意味

標準偏差の意味と注意点を学びました。

ここでもう一つ、重要な性質があります。

それは、「平均値から標準偏差だけ離れた値は変曲点になる」ということです。

┐(´∀｀)┌

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一般的に製品の分布特性は正規分布することが多いです。

イメージとしては、目標値を中心値として裾が広がったような形になります。（下図）

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この正規分布をよく見ると、中心付近は「上に凸の曲線」で、中心から外れると「下に凸の曲線」となっていることが分かります。

では、正規分布に中心値（平均値）から標準偏差だけ離れた点にマークをしてみます。

グラフが「上に凸の曲線」から「下に凸の曲線」に変わる変化点を変曲点と言います。（下に凸⇒上に凸　も変曲点）

すると、なんとこの変曲点はグラフの中心値から標準偏差(\(σ\))離れた点になるのです！

この性質は、「工程能力指数」の理解を深めていくうえで重要になってきます。

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まとめ

①\( 標準偏差 = \sqrt {不偏分散} \)

②ばらつきの値を求めるために、不偏分散ではなく標準偏差を考える

③標準偏差が小さくなったからといって「ばらつき」が小さくなったとは言えない

④平均値から標準偏差だけ離れた値は変曲点になる

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次回の記事では標準偏差を利用する統計量、変動係数について勉強していきましょう！

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